第六部分
概率與統計萬能知識點及經典題型
Ⅰ
【考題分析】
1
、考試題型
：選擇填空
1
個，解答題：
18
（必考）
2
、考題分值：
17
分；
3
、解答題考點：
①頻率直方圖的應用，②線性回歸直線的應用，③獨立性檢驗和概率
4
、難度系數：
0.7-0.8
左右，（
120
分必須全對，
100
以上者全對）
【知識總結】
一、普通的眾數、平均數、中位數及方差
1
、
眾數
：一組數據中，出現次數最多的數。
2
、平均數
：①、常規平均數：
1
2
n
x
x
x
x
n
?
?
????
?
②、加權平均數：
1
1
2
2
1
2
n
n
n
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
???
?
3
、中位數：
從大到小或者從小到大排列，最中間或最中間兩個數的平均數。
4
、方差：
2
2
2
2
1
2
1
[(
)
(
)
(
)
]
n
s
x
x
x
x
x
x
n
?
?
?
?
?
????
?
二、頻率直方分布圖下的頻率
1
、頻率
=
小長方形面積：
f
S
y
d
?
?
?
距
；
頻率
=
頻數
/
總數
2
、頻率之和
：
1
2
1
n
f
f
f
?
?
???
?
?
；同時
1
2
1
n
S
S
S
?
?
???
?
?
；
三、頻率直方分布圖下的眾數、平均數、中位數及方差
1
、眾數：
最高小矩形底邊的中點。
2
、平均數：
1
1
2
2
3
3
n
n
x
x
f
x
f
x
f
x
f
?
?
?
?
???
?
1
1
2
2
3
3
n
n
x
x
S
x
S
x
S
x
S
?
?
?
?
???
?
3
、中位數：
從左到右或者從右到左累加，面積等于
0.5
時
x
的值。
4
、方差：
2
2
2
2
1
1
2
2
(
)
(
)
(
)
n
n
s
x
x
f
x
x
f
x
x
f
?
?
?
?
?
???
?
?
四、線性回歸直線方程
：
?
?
?
y
bx
a
?
?
其中：
1
1
2
2
2
1
1
(
)(
)
?
(
)
n
n
i
i
i
i
i
i
n
n
i
i
i
i
x
x
y
y
x
y
nxy
b
x
x
x
nx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
,
?
?
a
y
bx
?
?
1
、線性回歸直線方程必過樣本中心
(
,
)
x
y
；
2
、
?
0
:
b
?
正相關；
?
0
:
b
?
負相關。
3
、線性回歸直線方程：
?
?
?
y
bx
a
?
?
的斜率
?
b
中，兩個公式中分子、分母對應也相等；中間可以推導得到。
五、回歸分析
1
、殘差
：
?
?
i
i
i
e
y
y
?
?
（殘差
=
真實值—預報值）。
分析：
?
i
e
越小越好；
2
、殘差平方和
：
2
1
?
(
)
n
i
i
i
y
y
?
?
?
，
分析：①意義：越小越好；
②計算：
2
2
2
2
1
1
2
2
1
?
?
?
?
(
)
(
)
(
)
(
)
n
i
i
n
n
i
y
y
y
y
y
y
y
y
?
?
?
?
?
?
?
????
?
?
3
、擬合度（相關指數）
：
2
2
1
2
1
?
(
)
1
(
)
n
i
i
i
n
i
i
y
y
R
y
y
?
?
?
?
?
?
?
?
，
分析：①
.
?
?
2
0,1
R
?
的常數；
②
.
越大擬合度越高；
4
、相關系數
：
1
1
2
2
2
2
1
1
1
1
(
)(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
n
n
i
i
i
i
i
i
n
n
n
n
i
i
i
i
i
i
i
i
x
x
y
y
x
y
nx
y
r
x
x
y
y
x
x
y
y
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
分析：①
.
[
1,1]
r
?
?
的常數；
②
.
0:
r
?
正相關；
0:
r
?
負相關
③
.
[0,0.25]
r
?
；相關性很弱；
(0.25,0.75)
r
?
；相關性一般；
[0.75,1]
r
?
；相關性很強；
六、獨立性檢驗
1
、
2
×
2
列聯表
：
2
、獨立性檢驗公式
①．
2
2
(
)
(
)(
)(
)(
)
n
ad
bc
k
a
b
c
d
a
c
b
d
?
?
?
?
?
?
②．犯錯誤上界
P
對照表
3
、獨立性檢驗步驟
①．計算觀察值
k
：
2
(
)
(
)(
)(
)(
)
n
ad
bc
k
a
b
c
d
a
c
b
d
?
?
?
?
?
?
；
②．查找臨界值
0
k
：由犯錯誤概率
P
，根據上表查找臨界值
0
k
；
③．下結論：
0
k
k
?
：即犯錯誤概率不超過
P
的前提下認為：
,
有
1-P
以上的把握認為：
;
0
k
k
?
：即犯錯誤概率超過
P
的前提認為：
,
沒有
1-P
以上的把握認為：
;
【經典例題】
題型
1
與莖葉圖的應用
例
1
（
2014
全國）某市為考核甲、乙兩部門的工作情況，學科網隨機訪問了
50
位市民。根據這
50
位市民
（
1
）分別估計該市的市民對甲、乙
部門評分的中位數；
（
2
）分別估計該市的市民對甲、乙
部門的評分做于
90
的概率；
（
3
）根據莖葉圖分析該市的市民對
甲、乙學科網兩部門的評價。
題型
2
頻率直方分布圖的應用
例
2
（
2015
廣東）某城市
100
戶居民的月平均用電量（單位：度），以
[
)
160,180
，
[
)
180,200
，
[
)
200,220
，
[
)
220,240
，
[
)
240,260
，
[
)
260,280
，
[
]
280,300
分組的頻率分布直方圖如圖
2
，
（
1
）求直方圖中
x
的值；
（
2
）求月平均用電量的眾數和中位數；
（
3
）在月平均用電量為
[
)
220,240
，
[
)
240,260
，
[
)
260,280
，
[
]
280,300
的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取
11
戶居民，則
月平均用電量在
[
)
220,240
的用戶中應抽取多少戶？
1
x
2
x
合計
1
y
a
b
a
b
?
2
y
c
d
c
d
?
合計
a
c
?
b
d
?
n